Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} y}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{2}}{y^{2} y}$

Schritt 1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 2}}{y^{2} y}$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2} y^{1}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{2 + 1}}$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{y^{3}}$

Schritt 1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{y^{2}} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{1}}{y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\int \frac{y \cdot 1}{y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{x + C}$ um.

$| y | = e^{x + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x + C}$ als $e^{x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{x}$