Analysis Beispiele

$2 (y d) x = (1 + x) d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$(1 + x) d y = 2 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x$ aus $(1 + x) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x) (y)} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x) y} (1 + x) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (2 y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(1 + x) y} y d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(1 + x) y} y d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $(1 + x) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (1 + x)} y d x$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{1 + x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{1 + x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.5

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = 2 \ln (| 1 + x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\ln (| y |) - 2 \ln (| 1 + x |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| 1 + x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y |) - \ln ({| 1 + x |}^{2}) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| 1 + x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y |) - \ln ({(1 + x)}^{2}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + x)}^{2}$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Schritt 5.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.4.1

Vereinfache $e^{C} {(1 + x)}^{2}$ .

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Schritt 5.5.4.1.1

Schreibe ${(1 + x)}^{2}$ als $(1 + x) (1 + x)$ um.

$| y | = e^{C} ((1 + x) (1 + x))$

Schritt 5.5.4.1.2

Multipliziere $(1 + x) (1 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} (1 (1 + x) + x (1 + x))$

Schritt 5.5.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x))$

Schritt 5.5.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} (1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Schritt 5.5.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Schritt 5.5.4.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x)$

Schritt 5.5.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x \cdot x)$

Schritt 5.5.4.1.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + x + x + x^{2})$

Schritt 5.5.4.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$| y | = e^{C} (1 + 2 x + x^{2})$

Schritt 5.5.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{C} \cdot 1 + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Schritt 5.5.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.4.1.5.1

Mutltipliziere $e^{C}$ mit $1$ .

$| y | = e^{C} + e^{C} (2 x) + e^{C} x^{2}$

Schritt 5.5.4.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$

Schritt 5.5.4.1.6

Stelle die Faktoren in $e^{C} + 2 e^{C} x + e^{C} x^{2}$ um.

$| y | = e^{C} + 2 x e^{C} + x^{2} e^{C}$

Schritt 5.5.4.1.7

Bewege $e^{C}$ .

$| y | = 2 x e^{C} + x^{2} e^{C} + e^{C}$

Schritt 5.5.4.1.8

Stelle $2 x e^{C}$ und $x^{2} e^{C}$ um.

$| y | = x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C}$

Schritt 5.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 2 x e^{C} + e^{C})$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm (x^{2} C + 2 x C + C)$