Analysis Beispiele

$y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y (2 x - y)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x - y)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = 2 x - y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x - y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y] + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y]) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 1 \cdot 1) + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 1 + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.6.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + (2 x - y) \cdot 1$

Schritt 1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.3.8.1

Mutltipliziere $2 x - y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y + 2 x - y$

Schritt 1.3.8.2

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2} + 1)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2} + 1)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x - 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x - 2 y = - 2 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x - 2 y = - 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x - 2 y$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y (2 x - y)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y (2 x - y)$ .

$\frac{- 2 x - (2 x - 2 y)}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x - (2 x) - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x - (- 2 y)}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 2 y}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x + 2 y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x) + 2 y}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (y)}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x) + 2 (y)$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x + y)}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 x + y$ und $2 x - y$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x) + y)}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (- y))}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.3.4

Schreibe $- (2 x - y)$ als $- 1 (2 x - y)$ um.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (2 x - y))}{y (2 x - y)}$

Schritt 4.3.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $y (2 x - y)$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y (2 x - y) d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y (2 x - y)$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (2 x - y) \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (2 x - y) \frac{1}{y \cdot y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(2 x - y) \frac{1}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2 x - y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x - (x^{2} + y^{2} + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + (- x^{2} - y^{2} - 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $- x^{2} - y^{2} - 1$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (y^{2})$ heraus.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.11

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + y^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.13

Schreibe $- (x^{2} + y^{2} + 1)$ als $- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)$ um.

$\frac{2 x - y}{y} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2} + 1)}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x - y}{y} d x - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x - y}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{2 x - y}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} + \frac{- y}{y} d x$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int \frac{- y}{y} d x$

Schritt 8.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x + \int - 1 d x$

Schritt 8.4

Da $\frac{2}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 8.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Schritt 8.6

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Schritt 8.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Schritt 8.8

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y \cdot 2} - x + C$

Schritt 8.9

Vereinfache.

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Schritt 8.9.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 \cdot y} - x + C$

Schritt 8.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Schritt 8.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2 y} - x + C$

Schritt 8.9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{y}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.6.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.6.2.2

Addiere $- \frac{x^{2}}{y^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 11.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = - \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Addiere $\frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Addiere $0$ und $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Um $\frac{d g}{d y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.2

Setze den Zähler gleich Null.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Schritt 12.1.3

Löse die Gleichung nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.3.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} y^{2} + 1 = - y^{2}$

Schritt 12.1.3.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$

Schritt 12.1.3.2

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ durch $y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 12.1.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d g}{d y} y^{2} = - y^{2} - 1$ durch $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{2}}{y^{2}} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d g}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.1.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.3.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} = \frac{- y^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{y^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.3.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 + \frac{- 1}{y^{2}}$

Schritt 12.1.3.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 1 - \frac{1}{y^{2}}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 1 - \frac{1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 1 - \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 13.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int - 1 d y + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 13.4

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = - y + C + \int - \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 13.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - y + C - \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 13.6

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 13.7

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 13.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (y) = - y + C - \int y^{- 2} d y$

Schritt 13.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - y + C - (- y^{- 1} + C)$

Schritt 13.9

Vereinfache.

$g (y) = - y - - \frac{1}{y} + C$

Schritt 13.10

Vereinfache.

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Schritt 13.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = - y + 1 \frac{1}{y} + C$

Schritt 13.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$g (y) = - y + \frac{1}{y} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} - x - y + \frac{1}{y} + C$