Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} y - 4 x^{3} y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3} y$ aus $5 x^{4} y - 4 x^{3} y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{3} y$ aus $5 x^{4} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) - 4 x^{3} y$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{3} y$ aus $- 4 x^{3} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{3} y$ aus $x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x - 4)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x^{3} y (5 x - 4))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{3} y (5 x - 4)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x - 4)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

Schritt 1.3.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x - 4 \cdot x^{3}$

Schritt 1.3.5

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x \cdot x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.3.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x^{1} x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

Schritt 1.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{1 + 3} - 4 \cdot x^{3}$

Schritt 1.3.5.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 \cdot x^{3}$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 x^{3}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (5 x^{4} - 4 x^{3}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

Schritt 2.3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 4}{4} x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 2.3.6.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 1}{1} x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - x^{4} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{5} - x^{4} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$ um.

$| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x^{5} - x^{4} + C}$ als $e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x^{5} - x^{4}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{x^{5} - x^{4}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{x^{5} - x^{4}}$