Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} y - 2 x y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x y$ aus $5 x^{2} y - 2 x y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x y$ aus $5 x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x y (5 x) - 2 x y$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x y (5 x) + x y (- 2)$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x y$ aus $x y (5 x) + x y (- 2)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x y (5 x - 2)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y (5 x - 2))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (5 x - 2)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (5 x - 2)))$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (5 x - 2)))$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (5 x - 2)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (5 x) + x \cdot - 2$

Schritt 1.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x \cdot x + x \cdot - 2$

Schritt 1.3.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x \cdot x - 2 \cdot x$

Schritt 1.3.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x \cdot x) - 2 \cdot x$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{2} - 2 \cdot x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{2} - 2 x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (5 x^{2} - 2 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 x^{2} - 2 x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{2} - 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 2 \int x d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} - x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C}$ um.

$| y | = e^{- x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{3}$ .

$| y | = e^{- x^{2} + \frac{5 x^{3}}{3} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{2} + \frac{5 x^{3}}{3} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- x^{2} + \frac{5 x^{3}}{3} + C}$ als $e^{- x^{2} + \frac{5 x^{3}}{3}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- x^{2} + \frac{5 x^{3}}{3}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- x^{2} + \frac{5 x^{3}}{3}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} + \frac{5 x^{3}}{3}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- x^{2} + \frac{5 x^{3}}{3}}$