Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y + 1$

Schritt 1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x + 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x} + e^{2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x} + e^{2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.5

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.5.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.6

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.9

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{2 x} d x$

Schritt 7.10

Sei $u_{2} = 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.10.1

Es sei $u_{2} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.10.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 7.11

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 7.12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.13

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 7.14

Vereinfache.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.3

Um $\frac{e^{2 x}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{e^{2 x}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.6

Addiere $- e^{2 x}$ und $e^{2 x} \cdot 2$ .

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Schritt 8.3.6.1

Stelle $e^{2 x}$ und $2$ um.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + 2 \cdot e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.6.2

Addiere $- e^{2 x}$ und $2 \cdot e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.7.1

Um $\frac{x e^{2 x}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{x e^{2 x}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.7.4.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 8.3.7.4.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $x e^{2 x} \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.4.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.4.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2 + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.5

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.6

Kombiniere $C$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.7.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.8.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.8.3

Mutltipliziere $e^{2 x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7.8.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ mit $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$

Schritt 8.3.10

Stelle die Faktoren in $\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$ um.

$y = \frac{2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$