Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y \sqrt{1 + y^{2}}$ .

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y \sqrt{1 + y^{2}}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{t \cdot e^{t}}{y \sqrt{1 + y^{2}}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t \cdot e^{t}$

$y \sqrt{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y \sqrt{1 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y \sqrt{1 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 + y^{2}$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 + y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$2 y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 2.2.6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$