Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $\csc (x) \csc (x)$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Schritt 2.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \cot (x)) d x$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) - \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 2.3.3

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} + \int - \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - \int \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 2.3.5

Da die Ableitung von $- \csc (x)$ gleich $\csc (x) \cot (x)$ ist, ist das Integral von $\csc (x) \cot (x)$ gleich $- \csc (x)$ .

$y + C_{1} = - \cot (x) + C_{2} - (- \csc (x) + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \cot (x) + \csc (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \cot (x) + \csc (x) + K$