Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

Schritt 1.1.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Schritt 1.1.3

Löse die Gleichung nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $y^{2} - 2$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

Schritt 1.1.3.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ durch $x^{2} \cdot 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ durch $x^{2} \cdot 2 y$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.3.2.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} \cdot 2 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $x^{2} \cdot 2 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

Schritt 1.1.3.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $\frac{y}{2 x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

Schritt 1.2.2

Um $- \frac{1}{x^{2} y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 y x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2 x^{2}}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} y}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.3

Stelle die Faktoren von $x^{2} y \cdot 2$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y x^{2}$ heraus.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 2$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = y^{2} - 2$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = y^{2} - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $y^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

Schritt 2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $y^{2} - 2$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- x^{- 1} + C_{2}$ als $- \frac{1}{x} + C_{2}$ um.

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ um.

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.3.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

Schritt 3.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{1}{x} + C}$ als $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{1}{x}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$