Analysis Beispiele

$(2 + y x^{- 2}) d x + (y - x^{- 1}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 + y x^{- 2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y x^{- 2}]$

Schritt 1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + y \frac{1}{x^{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2}}]$

Schritt 1.4.2

Da $\frac{1}{x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x^{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y - x^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x^{- 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{- 1}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - - x^{- 2}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1 x^{- 2}$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x^{- 2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $0$ und $x^{- 2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{- 2}$

Schritt 2.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\frac{1}{x^{2}}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x^{- 1} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = y - x^{- 1}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x^{- 1} d y$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{- 1} d y$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{- 1} y + C$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.2.2

Da $\frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{- 1} y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{- 1} y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$0 + y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.5.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.5.2.2

Addiere $0$ und $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 8.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y x^{- 2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 9.1.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + \frac{y}{x^{2}}$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $\frac{y}{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

Schritt 9.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$ .

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Schritt 9.1.2.2.1

Subtrahiere $\frac{y}{x^{2}}$ von $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 + 0$

Schritt 9.1.2.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 d x$

Schritt 10.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = 2 x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

Schritt 12.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{x} y + 2 x + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{x} + 2 x + C$