Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + x}{x^{2} y + y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y + x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x}{x^{2} y + y}$

Schritt 1.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x^{1}}{x^{2} y + y}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) + x \cdot 1}{x^{2} y + y}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (y) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{x^{2} y + y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y + y$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y^{1}}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y x^{2} + y \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} (\frac{x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{y + 1}{y})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x^{2} + 1}$ mit $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{(x^{2} + 1) y}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(x^{2} + 1) y$ heraus.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{y (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y + 1$ aus $x (y + 1)$ heraus.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Dividiere $y$ durch $y + 1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Schritt 2.2.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Schritt 2.2.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 2.2.1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.5

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$