Analysis Beispiele

$\frac{t}{5} \cdot \frac{d y}{d t} = (y - 3)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d t}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{t}{5}$ und $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = y - 3$

Schritt 1.1.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{t \frac{d y}{d t}}{5} = 5 (y - 3)$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$t \frac{d y}{d t} = 5 (y - 3)$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache $5 (y - 3)$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t \frac{d y}{d t} = 5 y + 5 \cdot - 3$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d y}{d t} = 5 y - 15$ durch $t$ .

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \frac{d y}{d t}}{t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} + \frac{- 15}{t}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y}{t} - \frac{15}{t}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y - 15}{t}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5 y - 15$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y) - 15}{t}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 y + 5 \cdot - 3}{t}$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 y + 5 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = \frac{5 (y - 3)}{t}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{5 (y - 3)}{t}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $y - 3$ aus $5 (y - 3)$ heraus.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{(y - 3) \cdot 5}{t}$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d t} = \frac{5}{t}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{5}{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{5}{t} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y - 3$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{5}{t} d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 3 |) = 5 \ln (| t |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\ln (| y - 3 |) - 5 \ln (| t |)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 5 \ln (| t |)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y - 3 |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| t |}^{5}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y - 3 |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y - 3 | = e^{C} {| t |}^{5}$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} {| t |}^{5}$ um.

$| y - 3 | = {| t |}^{5} e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Schritt 3.5.4.3

Stelle die Faktoren in $\pm {| t |}^{5} e^{C}$ um.

$y - 3 = \pm e^{C} {| t |}^{5}$

Schritt 3.5.4.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{C} {| t |}^{5} + 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm C {| t |}^{5} + 3$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C {| t |}^{5} + 3$