Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = x^{5} - 5$ . Dann ist $d u = 5 x^{4} d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x^{5} - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $5 x^{4}$ und $0$ .

$5 x^{4}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ als $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $5$ für $y$ in $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ ersetzt wird.

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ um.

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

Schritt 4.2.3

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{1}{15}$ und $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

Schritt 4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $\frac{64}{15}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

Schritt 4.3.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $5$ und $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $75$ und $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

Schritt 5

Setze $\frac{139}{15}$ für $K$ in $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{139}{15}$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.2.6

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $\frac{1}{15}$ und $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $15$ aus $- 15 x^{10}$ heraus.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $15$ aus $75 x^{5}$ heraus.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 125$ heraus.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.4.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

Schritt 5.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

Schritt 5.3

Um $- \frac{25}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

Schritt 5.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{25}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

Schritt 5.6.2

Addiere $- 125$ und $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$