Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $5$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ ersetzt wird.

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ um.

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

Schritt 5.2

Um nach $K$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

Schritt 5.3

Schreibe $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

Schritt 5.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.4.1

Schreibe die Gleichung als $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ um.

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ .

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$25 - 20 + K = e^{0}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $20$ von $25$ .

$5 + K = e^{0}$

Schritt 5.4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$5 + K = 1$

Schritt 5.4.4

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.4.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1 - 5$

Schritt 5.4.4.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$K = - 4$

Schritt 6

Setze $- 4$ für $K$ in $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $- 4$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$