Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} (x^{2} {(2 y - 1)}^{2})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 y - 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere ${(2 y - 1)}^{2}$ aus $x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 2 y - 1$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 2 y - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $2 y - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 (2 y - 1), 3, 1$

Schritt 3.2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.2.3

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 3.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 3.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.2.6

Das kgV von $2, 3, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 3$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6$

Schritt 3.2.8

Der Teiler von $2 y - 1$ ist $2 y - 1$ selbst.

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.9

Das kgV von $2 y - 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$2 y - 1$

Schritt 3.2.10

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$6 (2 y - 1)$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ mit $6 (2 y - 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ mit $6 (2 y - 1)$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 (2 y - 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 (2 y - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.2.1.2

Faktorisiere $2 (2 y - 1)$ aus $6 (2 y - 1)$ heraus.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) (3)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3 = 6 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- 3 = 3 (2) \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 = 3 \cdot 2 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y) + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Schritt 3.3.3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y - 1)$

Schritt 3.3.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y) + 6 K \cdot - 1$

Schritt 3.3.3.1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y + 6 K \cdot - 1$

Schritt 3.3.3.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y - 6 K$

Schritt 3.3.3.1.11

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$ um.

$4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $2 x^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} y + 12 K y - 6 K = - 3 + 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $6 K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} y + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $4 y$ aus $4 x^{3} y + 12 K y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $4 y$ aus $4 x^{3} y$ heraus.

$4 y (x^{3}) + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $4 y$ aus $12 K y$ heraus.

$4 y (x^{3}) + 4 y (3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y (x^{3}) + 4 y (3 K)$ heraus.

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ durch $4 (x^{3} + 3 K)$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ durch $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3} + 3 K$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.4.4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (x^{3} + 3 K)$ heraus.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 3.4.4.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 K$ heraus.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 3.4.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (x^{3} + 3 K)$ heraus.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Schritt 3.4.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Schritt 3.4.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{3 K}{2 (x^{3} + 3 K)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + K)} + \frac{K}{2 (x^{3} + K)}$