Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 4 x^{3}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $4 x^{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{4 \int x^{3} d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ um.

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 x^{4} + C}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$e^{x^{4} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x^{4}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{4}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{4}}$ .

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

Schritt 2.3

Stelle die Faktoren in $e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ um.

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 6.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{1}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $\frac{u_{1}}{2}$ und $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 6.4

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.4.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.4.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 6.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Schritt 6.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 6.5

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 6.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6.8

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 6.9

Vereinfache.

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Schritt 6.10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 6.10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Schritt 6.10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ durch $e^{x^{4}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ durch $e^{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{4}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{{(x^{2})}^{2}}$ und $e^{x^{4}}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{x^{4}}$ aus $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ heraus.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.3

Subtrahiere $x^{4}$ von $x^{4}$ .

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

Schritt 7.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$