Analysis Beispiele

$(1 - x) d y + y d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(1 - x) d y = - y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 - x$ aus $(1 - x) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(1 - x) y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) y} y d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $(1 - x) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 - x |}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| 1 - x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| 1 - x |$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} | 1 - x |$

Schritt 5.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | 1 - x |$ um.

$| y | = | 1 - x | e^{C}$

Schritt 5.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 - x | e^{C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm | 1 - x | C$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | 1 - x |$