Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 y + \sin (y)$ .

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + \sin (y)$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = (2 y + \sin (y)) \frac{6 x^{2}}{2 y + \sin (y)}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 y + \sin (y)) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(2 y + \sin (y)) d y = 6 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y + \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int \sin (y) d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - \cos (y) + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ als $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ um.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y^{2} - \cos (y) + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} - \cos (y) = 2 x^{3} + K$