Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = 7 e^{t} - 7$ ; , $x (0) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d x = (7 e^{t} - 7) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d x = \int 7 e^{t} - 7 d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$x + C_{1} = \int 7 e^{t} - 7 d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C_{1} = \int 7 e^{t} d t + \int - 7 d t$

Schritt 2.3.2

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$x + C_{1} = 7 \int e^{t} d t + \int - 7 d t$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 7 (e^{t} + C_{2}) + \int - 7 d t$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$x + C_{1} = 7 (e^{t} + C_{2}) - 7 t + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$x + C_{1} = 7 e^{t} - 7 t + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$x + C_{1} = - 7 t + 7 e^{t} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$x = - 7 t + 7 e^{t} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $1$ für $x$ in $x = - 7 t + 7 e^{t} + K$ ersetzt wird.

$1 = - 7 \cdot 0 + 7 e^{0} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 7 \cdot 0 + 7 e^{0} + K = 1$ um.

$- 7 \cdot 0 + 7 e^{0} + K = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 7 \cdot 0 + 7 e^{0} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$0 + 7 e^{0} + K = 1$

Schritt 4.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 7 \cdot 1 + K = 1$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$0 + 7 + K = 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $7$ .

$7 + K = 1$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1 - 7$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$K = - 6$

Schritt 5

Setze $- 6$ für $K$ in $x = - 7 t + 7 e^{t} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 6$ .

$x = - 7 t + 7 e^{t} - 6$