Analysis Beispiele

$x^{2} d x + y e d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y e d y = - x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y e d y = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $e$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $e$ aus dem Integral.

$e \int y d y = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Schreibe $e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ um.

$e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.2.3.2

Kombiniere $e$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ um.

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{e}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2}) = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{e}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{2}{e} \cdot \frac{e y^{2}}{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3}) + \frac{2}{e} K$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{2}{e}$ mit $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2}{e} K$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{2}{e}$ und $K$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2 K}{e}$

Schritt 3.2.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Um $\frac{2 K}{e}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 e$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 K}{e}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{e \cdot 3}}$

Schritt 3.4.2.2

Stelle die Faktoren von $e \cdot 3$ um.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{3 e}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Schritt 3.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{3 e}}$

Schritt 3.4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + K \cdot 3)}{3 e}}$

Schritt 3.4.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$ als $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ mit $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$

Schritt 3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ mit $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e} \sqrt{3 e}}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $\sqrt{3 e}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} \sqrt{3 e}}$

Schritt 3.4.7.3

Potenziere $\sqrt{3 e}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} {\sqrt{3 e}}^{1}}$

Schritt 3.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{2}}$

Schritt 3.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{3 e}}^{2}$ als $3 e$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 e}$ als ${(3 e)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{({(3 e)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{1}}$

Schritt 3.4.7.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{3 e}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K) (3 e)}}{3 e}$

Schritt 3.4.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$

Schritt 3.4.9

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$