Analysis Beispiele

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$x y' = x^{2} + y$

Schritt 2

Ermittle $y'$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 x + 4$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 x + 4$

Schritt 3

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Schritt 4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Schritt 4.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Schritt 4.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Schritt 4.5

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

Schritt 5

Die gegebene Lösung erfüllt die gegebene Differentialgleichung.

$y = x^{2} + 4 x$ ist ein Lösung von $x y' = x^{2} + y$