Analysis Beispiele

$(x + y) d x = x d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x + y) d x - x d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x + y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = - 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $- x$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $- x$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

Schritt 5.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{- x}$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(x + y) d x - x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x + y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x + y$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- x$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 7.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{y}{x} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y}{x}$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.5.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{x + y}{x^{2}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x + y}{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{x + y}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (x + y)}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x - y}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y - x - y$ .

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Schritt 13.1.1.4.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.5.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Schritt 13.1.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} = 0$

Schritt 13.1.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $\frac{1}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 14.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \ln (| x |) + C$