Analysis Beispiele

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$ durch $x - 34$ .

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 34$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 34)}^{3}$ und $x - 34$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x - 34$ aus ${(x - 34)}^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{x - 34}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{2}}{1}$

Schritt 1.3.2.4

Dividiere ${(x - 34)}^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- y}{x - 34}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{- 1}{x - 34}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 34} y = {(x - 34)}^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{x - 34}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 34} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{x - 34}$ .

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Schritt 2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{1}{x - 34} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x - 34} d x}$

Schritt 2.2.3

Sei $u = x - 34$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.3.1

Es sei $u = x - 34$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Differenziere $x - 34$ .

$\frac{d}{d x} [x - 34]$

Schritt 2.2.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 34$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$

Schritt 2.2.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 34]$

Schritt 2.2.3.1.4

Da $- 34$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 34$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $x - 34$ .

$e^{- \ln (| x - 34 |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x - 34)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(x - 34)}^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(x - 34)}^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 34}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x - 34}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{1}{x - 34} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x - 34}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (- \frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} (\frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x - 34}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x - 34}$ mit $\frac{1}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{(x - 34) (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2.5.2

Potenziere $x - 34$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2.5.3

Potenziere $x - 34$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.3

Um $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} \cdot \frac{x - 34}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x - 34)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ mit $\frac{x - 34}{x - 34}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{(x - 34) (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $x - 34$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $x - 34$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34) - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 34 - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.6.2

Bringe $- 34$ auf die linke Seite von $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 34$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $x - 34$ aus ${(x - 34)}^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Schritt 3.8

Stelle die Faktoren in $\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$ um.

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] = x - 34$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] d x = \int x - 34 d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x - 34 d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{x - 34} y = \int x d x + \int - 34 d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 34 d x$

Schritt 7.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - 34 x + C$

Schritt 7.4

Vereinfache.

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x - 34}$ und $y$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{y}{x - 34} = \frac{x^{2}}{2} - 34 x + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x - 34$ .

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 34$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Multipliziere $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.4.2.1.2.1.1

Multipliziere $\frac{x^{2}}{2} x$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1.1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 34$ heraus.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 (- 17)) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 17) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \cdot - 17 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.3

Bringe $- 17$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 \cdot x^{2} - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 (x \cdot x) - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 34$ mit $- 34$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x + C \cdot - 34$

Schritt 8.4.2.1.2.1.6

Bringe $- 34$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 8.4.2.1.2.2.1

Subtrahiere $34 x^{2}$ von $- 17 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

Schritt 8.4.2.1.2.2.2

Stelle um.

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Schritt 8.4.2.1.2.2.2.1

Bewege $1156 x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + C x - 34 C + 1156 x$

Schritt 8.4.2.1.2.2.2.2

Bewege $- 51 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x - 51 x^{2} - 34 C + 1156 x$