Analysis Beispiele

$x + y \frac{d y}{d x} = 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ durch $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - x}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = (2 - x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int 2 - x d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 d x + \int - x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int - x d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + 2 x + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = - x^{2} + 2 (2 x) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} = - x^{2} + 4 x + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$