Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 2 x - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - (- x^{- 1} + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{2} - - x^{- 1} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = x^{2} + 1 x^{- 1} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $x^{- 1}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = x^{2} + x^{- 1} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{2} + x^{- 1} + K$