Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 3 y = e^{4 x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 3$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} e^{4 x}$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} e^{4 x}$

Schritt 2.3

Multipliziere $e^{- 3 x}$ mit $e^{4 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x + 4 x}$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 3 x$ und $4 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{x}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{x}$ um.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = e^{x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = e^{x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- 3 x} y = \int e^{x} d x$

Schritt 6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} y = e^{x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = e^{x} + C$ durch $e^{- 3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = e^{x} + C$ durch $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $e^{- 3 x}$ aus $e^{x}$ heraus.

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{- 3 x} e^{4 x}}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{e^{4 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2.4

Dividiere $e^{4 x}$ durch $1$ .

$y = e^{4 x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$