Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} + 2 x y = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d x}{d y} = - 2 x y$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (- 2 x y)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = - 2 \frac{1}{x} (x y)$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{- 2}{x} (x y)$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{- 2}{x} (x (y))$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{- 2}{x} (x y)$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = - 2 y$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x} d x = - 2 y d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - 2 y d y$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 2 y d y$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 \int y d y$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2})$ als $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{2}$ um.

$\ln (| x |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - y^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| x |) = - y^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- y^{2} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| x |) = - y^{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- y^{2} + C} = | x |$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| x | = e^{- y^{2} + C}$ um.

$| x | = e^{- y^{2} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{- y^{2} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- y^{2} + C}$ als $e^{- y^{2}} e^{C}$ um.

$x = \pm e^{- y^{2}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- y^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$x = \pm e^{C} e^{- y^{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$x = C e^{- y^{2}}$