Analysis Beispiele

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- \frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{e^{x}}{y}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $- 2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $y - \frac{e^{x}}{y}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y - \frac{e^{x}}{y}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y - \frac{e^{x}}{y}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 y$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $e^{x} + y^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $e^{x} + y^{2}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $y$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Kombinieren.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{x}}{y}$ in den Zähler.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.5.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.5.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.5.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.5.5

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.6

Faktorisiere $y$ aus $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y e^{x}$ heraus.

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{2}$ heraus.

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

Schritt 4.3.6.3

Faktorisiere $y$ aus $y (e^{x}) + y (y^{2})$ heraus.

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- y^{2} - e^{x}$ und $e^{x} + y^{2}$ .

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Schritt 4.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Schritt 4.3.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Schritt 4.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - (e^{x})$ heraus.

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Schritt 4.3.7.4

Schreibe $- (y^{2} + e^{x})$ als $- 1 (y^{2} + e^{x})$ um.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Schritt 4.3.7.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Schritt 4.3.7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Schritt 4.3.7.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 4.3.8

Ersetze $M$ durch $e^{x} + y^{2}$ .

$- \frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $e^{x} + y^{2}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $e^{x} + y^{2}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Um $x y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.4

Um $- 2 y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.5

Kombiniere $- 2 y^{2}$ und $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.7

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.7.1

Bewege $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 6.5.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.5.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.7

Multipliziere $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

Schritt 6.7.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

Schritt 6.7.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

Schritt 6.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

Schritt 6.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

Schritt 8.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

Schritt 8.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Schritt 8.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Schritt 8.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

Schritt 8.3.2.5

Dividiere $y$ durch $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

Schritt 8.4

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

Schritt 8.5

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

Schritt 8.6

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{x}}{y}$ nach $y$ gleich $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.6.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 11.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1.3.2.1

Multipliziere $- - e^{x}$ .

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Schritt 12.1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2.1.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Addiere $- e^{x}$ und $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- x y^{2} + 2 y^{3}$ heraus.

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Schritt 12.1.1.5.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- x y^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2.2

Dividiere $- x + 2 y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

Schritt 12.1.1.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ .

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Schritt 12.1.1.6.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

Schritt 12.1.1.6.2

Addiere $\frac{d g}{d y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Schritt 13.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 13.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$