Analysis Beispiele

$(e^{2 x} + 5) d y + y e^{2 x} d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $y e^{2 x} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(e^{2 x} + 5) d y = - y e^{2 x} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x} + 5$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $e^{2 x} + 5$ aus $(e^{2 x} + 5) y$ heraus.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) (y)} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $(e^{2 x} + 5) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y e^{2 x}$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y (e^{2 x})) d x$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

Schritt 3.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{2 x} + 5} e^{2 x} d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{- 1}{e^{2 x} + 5}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . Dann ist $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $e^{2 x} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + 5]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3.2.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3.2.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3.2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3.2.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3.2.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Addiere $2 e^{2 x}$ und $0$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{2 x} + 5$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C$