Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{3}$ ist.

$v = y^{- 2}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.6.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.2.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.14

Bringe $v^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Schritt 4.17

Schreibe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Schritt 4.19

Potenziere $v$ mit $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.21

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.23

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ ein.

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

Schritt 6.1.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

Schritt 6.1.1.1.2.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

Schritt 6.1.1.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

Schritt 6.1.1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d v}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Addiere $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.1.1.2.2

Addiere $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.3.2.2

Dividiere $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ als $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ als $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.1.1.4

Multipliziere beide Seiten mit $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.5.1.1

Vereinfache $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

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Schritt 6.1.1.5.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1.5.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 6.1.1.5.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.5.2.1

Vereinfache $(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

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Schritt 6.1.1.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.1.1.5.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.2.2

Faktorisiere $v^{\frac{1}{2}}$ aus $2 v^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 6.1.1.5.2.1.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.4.2

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $2 v^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

Schritt 6.1.1.5.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

Schritt 6.1.1.5.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.5.2.1.2.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

Schritt 6.1.1.5.2.1.2.2

Vereinfache.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- 2 v - 2}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 v - 2$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 v$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

Schritt 6.1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

Schritt 6.1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- v) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 (- v - 1)}$ mit $- 2 v - 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

Schritt 6.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 v - 2$ und $2$ .

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Schritt 6.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 v$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

Schritt 6.1.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

Schritt 6.1.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- v) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Schritt 6.1.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Schritt 6.1.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Schritt 6.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- v - 1$ .

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Schritt 6.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Schritt 6.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u_{2} = - 2 v - 2$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 d v$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u_{2} = - 2 v - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $- 2 v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 v - 2$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 2 v$ nach $v$ gleich $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.2.2.1.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Schritt 6.2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Schritt 6.2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 6.2.2.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 v - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 6.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

Schritt 6.3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| - 2 v - 2 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| - 2 v - 2 |)$ mit $1$ .

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

Schritt 6.3.3

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Schritt 6.3.4

Schreibe $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

Schritt 6.3.5

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ um.

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Schritt 6.3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Schritt 6.3.5.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

Schritt 6.3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Schritt 6.3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Schritt 6.3.5.4.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Schritt 6.3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.5.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

Schritt 6.3.5.4.3.1.2

Dividiere $2$ durch $- 2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

Schritt 6.3.5.4.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.3.5.4.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.3.5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.3.5.4.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $e^{- 2 x + C}$ als $e^{- 2 x} e^{C}$ um.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

Schritt 6.4.3

Stelle $e^{- 2 x}$ und $e^{C}$ um.

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

Schritt 6.4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$