Analysis Beispiele

$(2 x - y - 3) d x - (x + 4 y + 3) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x - y - 3$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - y - 3]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - y - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.2.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + 0$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 4 y + 3)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x + 4 y + 3)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4 y + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.5

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 1 = - 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 1 = - 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x + 4 y + 3) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int x + 4 y + 3 d y$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = - (\int x d y + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (x y + C + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

Schritt 5.4

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 \int y d y + \int 3 d y)$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 d y)$

Schritt 5.6

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 y + C)$

Schritt 5.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + 3 y + C)$

Schritt 5.8

Vereinfache.

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - y - 3$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x y + 2 y^{2} + 3 y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + 2 y^{2} + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3.3

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3.5

Da $2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3.6

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- (y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3.8

Addiere $y$ und $0$ .

$- (y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.3.9

Addiere $y$ und $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- y + \frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y = 2 x - y - 3$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3 + y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - y - 3 + y$ .

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 - 3$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $2 x - 3$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x - 3 d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x - 3 d x$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

Schritt 10.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

Schritt 10.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Schritt 10.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

Schritt 10.8

Vereinfache.

$g (x) = x^{2} - 3 x + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - (x y) - (2 y^{2}) - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - 3 y + x^{2} - 3 x + C$