Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 1}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 2.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ um.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1.3.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.4.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.1.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.2

Um $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.3.3.1

Kombiniere $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ und $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 3.1.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2 + C}{2}$

Schritt 3.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.3.4.1

Multipliziere $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

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Schritt 3.1.3.4.1.1

Stelle $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ und $2$ um.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.4.1.2

Vereinfache $2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + C}{2}$

Schritt 3.1.3.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$ in zwei Brüche.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Schreibe $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ um.

$y = {(\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = {(\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.3.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C)}^{2}$