Analysis Beispiele

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x y = 2 y^{2} + 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x (y) = 2 y^{2} + 1$

Schritt 1.2

Stelle $x$ und $y$ um.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$ durch $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $\frac{d x}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.7

Faktorisiere $x$ aus $\frac{x}{y}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} + x \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 1.8

Stelle $x$ und $\frac{1}{y}$ um.

$\frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} x = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (y) d y}$ , wobei $P (y) = \frac{1}{y}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$e^{\ln (| y |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (y)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$y$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $y$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + y (\frac{1}{y} x) = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x$ .

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d x}{d y} + x = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 \cdot y + y \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + \frac{1}{y}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d y} [y x] = 2 y + \frac{1}{y}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d y} [y x] d y = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$y x = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y x = \int 2 y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 7.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y x = 2 \int y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 7.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 7.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Schritt 7.5.2

Vereinfache.

$y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ durch $y$ .

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$x = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Schritt 8.3.1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Schritt 8.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Schritt 8.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y}{1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Schritt 8.3.1.2.5

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x = y + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$