Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{x^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (y)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) x^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ nach $\sec^{2} (y)$ um.

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\tan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- x^{- 1} + C_{2}$ als $- \frac{1}{x} + C_{2}$ um.

$\tan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\tan (y) = - \frac{1}{x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Stelle $- \frac{1}{x}$ und $K$ um.

$\tan (y) = K - \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (K - \frac{1}{x})$