Analysis Beispiele

$\frac{d N}{d t} = 400 + 600 \sqrt{t}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d N = (400 + 600 \sqrt{t}) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d N = \int 400 + 600 \sqrt{t} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$N + C_{1} = \int 400 + 600 \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$N + C_{1} = \int 400 d t + \int 600 \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + \int 600 \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3.3

Da $600$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $600$ aus dem Integral.

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 \int \sqrt{t} d t$

Schritt 2.3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$N + C_{1} = 400 t + 600 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $600$ und $\frac{2}{3}$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{600 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Mutltipliziere $600$ mit $2$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{1200}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1200$ und $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $1200$ heraus.

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3 (1)} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$N + C_{1} = 400 t + \frac{400}{1} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3.2.4

Dividiere $400$ durch $1$ .

$N + C_{1} = 400 t + 400 t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$N = 400 t + 400 t^{\frac{3}{2}} + K$