Analysis Beispiele

$d x - 4 x y^{3} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x y^{3} d y = - d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- 4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 \frac{1}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 4}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y^{3}$ heraus.

$\frac{- 4}{x} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 y^{3} d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $- 1$ .

$- 4 y^{3} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 y^{3} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - 4 y^{3} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int y^{3} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1})$ als $- 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1}$ um.

$- 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 4}{4} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y^{4} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- y^{4} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$- y^{4} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- y^{4} = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{4} = - \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{4} = - \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{4}}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{4}}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.1.2.2

Dividiere $y^{4}$ durch $1$ .

$y^{4} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{4} = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.1.3.1.2

Dividiere $\ln (| x |)$ durch $1$ .

$y^{4} = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$y^{4} = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Schritt 5.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$y^{4} = \ln (| x |) - C$

Schritt 5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Schritt 5.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Schritt 5.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) + C}$