Analysis Beispiele

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + (2 m x^{2} y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $x^{4} e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{4} e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2 m x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 m x y^{2}$ nach $y$ gleich $- 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x (2 y)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 m x y$

Schritt 1.4

Subtrahiere $4 m x y$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 m x y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 m x^{2} y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 m x^{2} y]$

Schritt 2.2

Da $2 m y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 m x^{2} y$ nach $x$ gleich $2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y (2 x)$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m y x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $4 m y x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 4 m x y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $4 m x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 4 m x y = 4 m x y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 4 m x y = 4 m x y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 4 m x y$ .

$\frac{- 4 m x y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $4 m x y$ .

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $2 m x^{2} y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $2 m x^{2} y$ .

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{2 m x^{2} y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $m x y$ aus $- 4 m x y - 1 \cdot 4 m x y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $m x y$ aus $- 4 m x y$ heraus.

$\frac{m x y (- 4) - 1 \cdot 4 m x y}{2 m x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $m x y$ aus $- 1 \cdot 4 m x y$ heraus.

$\frac{m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $m x y$ aus $m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)$ heraus.

$\frac{m x y (- 4 - 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{m x y (- 4 - 4)}{2 m x^{2} y}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \cdot - 8}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x y \cdot - 8$ heraus.

$\frac{x (y \cdot - 8)}{2 x^{2} y}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 8}{2 x}$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Schritt 4.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x)}$

Schritt 4.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Schritt 4.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{x}$

Schritt 4.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Schritt 5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 4 \ln (| x |)$ , indem du $- 4$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{- 4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + 2 m x^{2} y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} e^{x}$ heraus.

$\frac{x (x^{3} e^{x}) - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 m x y^{2}$ heraus.

$\frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})$ heraus.

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2 m x^{2} y$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 m x^{2} y$ heraus.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + m y \frac{2}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.8

Kombiniere $m$ und $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{m \cdot 2}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.9

Kombiniere $y$ und $\frac{m \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y (m \cdot 2)}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y m$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{2 y m}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y m}{x^{2}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = \frac{2 y m}{x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $\frac{2 m}{x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{2 m}{x^{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \int y d y$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $\frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $\frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 m}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{m}{x^{2}} y^{2} + C$

Schritt 8.3.2.5

Kombiniere $\frac{m}{x^{2}}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $m y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{m y^{2}}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$m y^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 11.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$m y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$m y^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m y^{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$m y^{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$m y^{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$m y^{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$m y^{2} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$m y^{2} \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$m y^{2} (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.5.2.3

Kombiniere $m$ und $\frac{2}{x^{3}}$ .

$y^{2} (- \frac{m \cdot 2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.5.2.4

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{m \cdot 2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y^{2} (m \cdot 2)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.5.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $m$ .

$- \frac{y^{2} (2 \cdot m)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.5.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} - \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x}) - (- 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- 2 y^{2} m$ und $2 m y^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 y^{2} m}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- 2 y^{2} m$ und $2 y^{2} m$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x} + 0}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.4.3

Addiere $- x^{3} e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 12.1.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.1.2

Dividiere $- 1 e^{x}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 e^{x} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$\frac{d g}{d x} - e^{x} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $e^{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + e^{x} + C$