Analysis Beispiele

$\frac{d F}{d x} = - 5 e^{x} - 5 x$ , $F (0) = - 6$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d F = (- 5 e^{x} - 5 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d F = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$F + C_{1} = - 5 \int e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 \int x d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 e^{x} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$F + C_{1} = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $- 6$ für $F$ in $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ ersetzt wird.

$- 6 = - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$ um.

$- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$

Schritt 4.2

Vereinfache $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- \frac{5}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{5}{2}) - 5 e^{0} + K = - 6$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{2}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Schritt 4.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 6$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5 + K = - 6$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5 + K = - 6$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 6 + 5$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 6$ und $5$ .

$K = - 1$

Schritt 5

Setze $- 1$ für $K$ in $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 1$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{5}{2}$ .

$F = - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} - 5 e^{x} - 1$

Schritt 5.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$F = - \frac{5 x^{2}}{2} - 5 e^{x} - 1$