Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = (y - 1) (1 - 2 x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y - 1} d y = (1 - 2 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int 1 - 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y - 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 1 - 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - x^{2} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- x^{2} + x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x + C} = | y - 1 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$ um.

$| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{- x^{2} + x + C}$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{- x^{2} + x + C} + 1$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- x^{2} + x + C}$ als $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- x^{2} + x} e^{C} + 1$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- x^{2} + x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} + x} + 1$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- x^{2} + x} + 1$