Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $x^{3}$ als ${(x^{3})}^{1}$ um.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

Schritt 1.2.3

Sei $u_{1} = x^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Es sei $u_{1} = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

Schritt 1.2.4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $1 + u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

Schritt 1.2.5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Schritt 1.2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Schritt 1.2.6.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ mit $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Schritt 1.2.7

Sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.2.7.1

Es sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 1.2.7.1.1

Differenziere $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Schritt 1.2.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 1.2.7.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 1.2.7.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.2.7.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

Schritt 1.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

Schritt 1.2.9

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 1.2.9.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + u_{1}$ .

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

Schritt 1.2.9.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

Schritt 1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$1 + x^{3}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $1 + x^{3}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $1 + x^{3}$ .

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.3.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ und $y$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $1 + x^{3}$ mit $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.6.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.6.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 2.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x + x^{2}$ .

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Schritt 2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.2.8.2

Dividiere $3 x^{2} y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

Schritt 2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $1 + x^{3}$ mit $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 2.5.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 2.5.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x + x^{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Schritt 2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $(1 + x^{3}) y = x + C$ durch $1 + x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + x^{3}) y = x + C$ durch $1 + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{3}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Schritt 7.3.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Schritt 7.3.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1.1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Schritt 7.3.1.1.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Schritt 7.3.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Schritt 7.3.1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Schritt 7.3.1.2.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$