Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 3$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x)$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x)$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$ um.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Schritt 6.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Schritt 6.5

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.5.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.5.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.5.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Schritt 6.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Schritt 6.7

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Schritt 6.8

Vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Schritt 6.10

Schreibe $2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ als $2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ um.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Schritt 6.11

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $e^{3 x}$ und $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 7.1.2

Entferne die Klammern.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ durch $e^{3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ durch $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}$ heraus.

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x}$ heraus.

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $- \frac{e^{3 x}}{9}$ heraus.

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $e^{3 x}$ aus $e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9})$ heraus.

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.3

Um $\frac{x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{9} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{x \cdot 3 - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{3 x - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1.1.7.1

Kombiniere $\frac{3 x - 1}{9}$ und $2$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9}$ und $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.3

Kombinieren.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 7.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 (3 x - 1) \cdot 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.2

Um $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.3

Um $\frac{C}{e^{3 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 7.2.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9 e^{3 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ mit $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 7.2.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{3 x}}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Schritt 7.2.3.4.3

Stelle die Faktoren von $e^{3 x} \cdot 9$ um.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{(6 x + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{(6 x - 2) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Schritt 7.2.3.6.5

Bringe $9$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$