Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{2 y + 3}$ .

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 3$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x + 5}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{2 y + 3} d y = \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{2 y + 3} d y = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 2 y + 3$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 2 y + 3$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y + 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 4 x + 5$ . Dann ist $d u_{2} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 4 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x + 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |)) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 2 y + 3 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (| 4 x + 5 |)$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{4}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2}$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 2 y + 3 |)} = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} = | 2 y + 3 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$ um.

$| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 y + 3 = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Schritt 3.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} - 3$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ in zwei Brüche.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2} + \frac{4 C}{2}} - 3$

Schritt 3.5.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.2.2.1

Schreibe $\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ um.

$2 y = \pm e^{\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |) + \frac{4 C}{2}} - 3$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 C}{2}} - 3$

Schritt 3.5.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.5.3.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 C$ heraus.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2}} - 3$

Schritt 3.5.3.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 (1)}} - 3$

Schritt 3.5.3.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 \cdot 1}} - 3$

Schritt 3.5.3.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 C}{1}} - 3$

Schritt 3.5.3.2.2.3.2.4

Dividiere $2 C$ durch $1$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3}{2}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - 3}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ als $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C} - 3}{2}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})}$ und $e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$