Analysis Beispiele

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 3 x + 2$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 3 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $4 (- u^{- 1} + C_{2})$ als $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ um.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{u}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 2$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ durch $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

Schritt 3.1.3.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.1.3.5.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 K x$ heraus.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (- 3 K x)$ heraus.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 K$ heraus.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ heraus.

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Schritt 3.1.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 3.1.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ als ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ um.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 - 3 K x - 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 (3 x + 2)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

Schritt 3.3.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ um.

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Schritt 3.3.1.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Schritt 3.3.1.6

Füge Klammern hinzu.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Schritt 3.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$