Analysis Beispiele

$(x^{2} - y^{2}) d x = 2 x (y d) y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x y d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} - y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Schritt 2.4

Subtrahiere $2 y$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - 2 x y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 3.2

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 y = - 2 y$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 2 y = - 2 y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x y d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = - 2 x y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2 x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - 2 x \int y d y$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $- 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.3.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.3.2.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Schritt 6.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Schritt 6.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{- x}{1} y^{2} + C$

Schritt 6.3.2.4.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y^{2}$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2} + g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $x$ gleich $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2}$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2} + y^{2}$

Schritt 10.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - y^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 10.1.2.1

Addiere $- y^{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Schritt 10.1.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Schritt 11.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$