Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.7

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ ersetzt wird.

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ um.

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Schritt 4.2.1.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Schritt 4.2.1.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 1 - 3$ und $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Schritt 4.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 4$

Schritt 5

Setze $4$ für $C$ in $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $4$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $8 \ln (| x |)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Schritt 5.2.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{8}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$