Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 2 x^{2} - 1$ . Dann ist $d u = 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 2 x^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$4 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{2} - 1$ .

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $5$ für $x$ und $4$ für $y$ in $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ ersetzt wird.

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ um.

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von $50$ .

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Schritt 4.2.3

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Schritt 4.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$7^{1} + K = 4$

Schritt 4.2.6

Berechne den Exponenten.

$7 + K = 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 4 - 7$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $7$ von $4$ .

$K = - 3$

Schritt 5

Setze $- 3$ für $K$ in $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 3$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$