Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4

Multipliziere $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4.7

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ ersetzt wird.

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ um.

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

Schritt 4.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $2$ und $6$ .

$\frac{8}{3} + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\frac{8}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - \frac{8}{3}$

Schritt 5

Setze $- \frac{8}{3}$ für $K$ in $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{8}{3}$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$