Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 18$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} - \frac{6 y}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 - 6 y}{x}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $6$ aus $18 - 6 y$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) - 6 y}{x}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) + 6 (- y)}{x}$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (3) + 6 (- y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3 - y)}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{6 (3 - y)}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $3 - y$ aus $6 (3 - y)$ heraus.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{6}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 3 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 3 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| 3 - y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| 3 - y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 6 \ln (| x |)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Schritt 3.2.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{6}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (x^{6}) = C$

Schritt 3.3

Addiere $\ln (x^{6})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $\ln (| 3 - y |)$ durch $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Schritt 3.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Schritt 3.4.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (x^{6})}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (x^{6})$

Schritt 3.4.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (x^{6})$ als $- \ln (x^{6})$ um.

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (x^{6})$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 3 - y |) + \ln (x^{6}) = - C$

Schritt 3.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - y | x^{6}) = - C$

Schritt 3.7

Stelle die Faktoren in $\ln (| 3 - y | x^{6})$ um.

$\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$

Schritt 3.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{6} | 3 - y |)} = e^{- C}$

Schritt 3.9

Schreibe $\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = x^{6} | 3 - y |$

Schritt 3.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.10.1

Schreibe die Gleichung als $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ um.

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$

Schritt 3.10.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ durch $x^{6}$ und vereinfache.

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Schritt 3.10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ durch $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Schritt 3.10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{6}$ .

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Schritt 3.10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Schritt 3.10.2.2.1.2

Dividiere $| 3 - y |$ durch $1$ .

$| 3 - y | = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Schritt 3.10.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Schritt 3.10.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$

Schritt 3.10.5

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.10.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.10.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.10.5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.10.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.10.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.10.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ als $- (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ um.

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.10.5.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - (\pm \frac{C}{x^{6}}) + 3$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = - (C \frac{1}{x^{6}}) + 3$