Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{1} = 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{1} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\frac{e^{u_{1}}}{4}$ und $\cos (e^{u_{1}})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Schritt 2.3.4

Sei $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Dann ist $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Schritt 2.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.7.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ ersetzt wird.

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Berechne $\sin (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $0.0174524$ .

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

Schritt 4.2.1.5

Dividiere $0.0174524$ durch $4$ .

$0.0043631 + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $0.0043631$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 0.0043631$

Schritt 5

Setze $- 0.0043631$ für $K$ in $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 0.0043631$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (e^{4 x})$ .

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$