Analysis Beispiele

$d x - (2 + x) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- (2 + x) d y = - d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{2 + x} (- (2 + x)) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + x$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 + x}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2 + x}$ und $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{2 + x} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 1 d y = - \frac{1}{2 + x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{2 + x} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u = 2 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u = 2 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

$- y + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.5

Ersetze alle $u$ durch $2 + x$ .

$- y + C_{1} = - \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- y = - \ln (| 2 + x |) + C$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\ln (| 2 + x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Dividiere $\ln (| 2 + x |)$ durch $1$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - 1 \cdot C$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$y = \ln (| 2 + x |) - C$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \ln (| 2 + x |) + C$